Question

高中抛物线的题目

已知抛物线y^2=x 及直线L：y=x-4 ，是否存在正方形ABCD，其顶点A、C在L上且顶点B、D在抛物线上？若存在，求出正方形的边长；若不存在，说明理由。

答案是存在，边长为根号13。 求解析！！！

Answer 1

因为A,C在L上，即AC为正方形的对角线，所以BD为另一条对角线，设BD所在的直线为L',且L'⊥L,所以斜率为-1，设直线L'为y=-x+b,直线L'与抛物线相交于D(X1，y1),B（x2,y2),联立L',抛物线的方程组，得x1+x2=2b+1,y1+y2=-1,而且BD的中点在L上，所以将中点代入直线方程，中点为E（1/2(x1+x2),1/2(y1+y2)),所以E（b+1/2,-1/2).最后得b=3,根据弦长公式得LBD=根号下26，所以正方形边长为;根号2/2倍LBD=(根号2/2)×根号26=根号13.
利用正方形对角线垂直且平分

Answer 2

设抛物线上两点d1（a1,b1),d2(a2,b2) 直线上点d3(a3,b3)作直线d1d3垂直于d1d2于d1
a1-a2=b1-b2（正方形对边平行）
b1^2-b2^2=b1-b2
b1+b2=1
b3=a3-4
a3-a1=-(b3-b1)
b3+4-b1^2=-(b3-b1)
b3=(b1+b1^2-4)/2
因为是正方形，边长一样
(a3-a1)^2+(b3-b1)^2=(a2-a1)^2+(b2-b1)^2
全部转化为关于b1的等式：
[(b1+b1^2-4)/2+4-b1^2]^2+[(b1+b1^2-4)/2-b1]^2=[(1-b1)^2-b1^2]^2+(1-b1-b1)^2
[-1/2b1^2+1/2b1+2]^2+[1/2b1^2-1/2b1-2]^2=[-2b1+1]^2+(1-2b1)^2
2[1/2b1^2-1/2b1-2]^2=2(1-2b)^2
1/2b1^2-1/2b1-2=1-2b1
或2b1-1=1/2b1^2-1/2b1-2
先考虑一式
1/2b1^2-1/2b1-2=1-2b1
b1^2+3b1-6=0
b1=-3/2*(1±√5）
二式：2b-1=1/2b1^2-1/2b1-2
b1^2-5b-2=0
b1=1/2*(5±√33)
则边长为：√2(1-2b1)分别把b1值代入

Answer 3

志媛 正解