Question

已知f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(-1)=2,且当x>0时，f(x)<0时，f(x)<0.

证明F(x)为奇函数
证明F(x)为R上的减函数
解不等式f(x-1)-f(1-2x-x^2)<4

Answer 1

（1）f(x+y)=f(x)+f(y)这个等式中，x,y可用任何数字或字母替换；
令y=0得：f(x)=f(x)+f(0)，所以：f(0)=0；
令y=-x得：f(0)=f(x)+f(-x)，因为f(0)=0，所以：f(-x)=-f(x)
所以，f(x)是奇函数；
（2）令x1<x2，则x2-x1>0，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2-x1)<0；
x2=(x2-x1)+x1，又f(x+y)=f(x)+f(y)
所以：f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
所以：f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0，即f(x2)<f(x1)
即：x1<x2时，f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在R上是增函数；
（3）f(-1)=2，则f(-2)=f[(-1)+(-1)]=f(-1)+f(-1)=4；
所以，不等式f(x-1)-f(1-2x-x^2)<4 化为：f(x-1)<f(1-2x-x^2)+f(-2)
因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以：f(1-2x-x^2)+f(-2)=f(-x^2-2x-1)
所以，不等式写为：f(x-1)<f(-x^2-2x-1)
由递减性：x-1>-x^2-2x-1，即：x^2+3x>0，即：x(x+3)>0，得：x<-3或x>0；
所以，原不等式的解为：x<-3或x>0；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！