Question

已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对定义域内的任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)

（1）求f（1）的值
（2）证明f（1/x）=-f（x）
（3）若f（x）在（0，+∞)上为单调减函数，解不等式f（3-x）＞-f（1/2）

Answer 1

令y=1得：f(x)=f(x)
f(1),所以f(1)=0，所以①是错的；
现在证明②是正确的，令y=1/√x，所以f(√x)=f(x)
f(1/√x)，又f(1)=0,所以f(√x)=1/2f(x)
f(x)=f(x)
f(1)，两边把f(x)抵消后，就只剩下f(1)=0
f(1)=f(√x)
f(1/√x)代入f(√x)=f(x)
f(1/√x)就可以得到了

Answer 2

因为f（x）对任意的x y都满足题中等式，所以x=1，y=1也适合，代入，即得f（1）=0；
再令y=1/x，代入有f（1）=f（x）+f（1/x），由（1）知f（1）=0，故而有f（1/x）=f（x）；
由（2）又有-f（1/2）=f（2），那么不等式就是f（3-x）>f(2),由f（x）的递减性，得 3-x<2 ，
所以解为 x>1

Answer 3

对定义域内的任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 则 f(x)是对数函数 则f(1)=0
f（1/x)=以a 为底1/x的对数=-以a为底x的对数=-f(x)
-f（1/2）=以a为底2的对数=f(2) 若f（x）在（0，+∞)上为单调减函数 则 3-x<2
x>1

Answer 4

1);x=0,y=1;
f(0)=f(0)+f(1);所以f(1)=0;
2);令，y=1/x;f(1)=f(x)+f(1/x);即证；