Question

设a大于0,f(x)=e的X次方/a +a/e的x次方 是R上的函数,且满足f(-x)=f(x),x属于R

1）求a的值
2）证明f（x）在（0，正无穷）上是增函数

Answer 1

f(x)=f(-x)
f(x)=e^x/a+a/e^x
f(-x)=e^(-x)/a+a/e^x
e^x/a+a/e^x=e^(-x)/a+a/e^(-x)
e^x/a+a/e^x=1/(ae^x)+ae^x
e^x(1/a-a)=1/e^x(1/a-a)
(1/a-a)( e^x -1/e^x)=0
1/a=a
a=1 或 -1
a>0所以a=1

设0<x1<x2
f(x2)-f(x1)
=e^x2/a+a/e^x2-e^x1/a-a/e^x1
=1/a(e^x2-e^x1)+a(1/e^x2-1/e^x1)
=1/a(e^x2-e^x1)-a(e^x2-e^x1)/(e^x1e^x2)
=(e^x2-e^x1)[1/a-a/(e^x1e^x2)]
=(e^x2-e^x1)(e^x1e^x2-a^2)/(ae^x1e^x2)
把a=1代入可得下式
=(e^x2-e^x1)(e^x1e^x2-1)/(e^x1e^x2)
e^x2-e^x1>0
e^(x1+x2) >e^0=1
e^x1e^x2>0
(e^x2-e^x1)(e^x1e^x2-1)/(e^x1e^x2)>0
f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)在（0，+∞）上是增函数