Question

求解定积分

Answer 1

定积分的算法有两种：

换元积分法

如果  ;x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,

则

分部积分法

设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式：

扩展资料

定积分的性质：

1、当a=b时，

2、当a>b时， 

3、常数可以提到积分号前。

4、代数和的积分等于积分的代数和。

5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有

又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。

6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则

7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使

Answer 2

第1题 用凑微分法；第2题利用奇函数在对称区间上的积分为零。

追问

请问第一题凑微分不是应该凑1/√x的导数吗？不是应该是ln√x吗？

请问1/√x求导就等于√x吗？

Answer 3

方法如下，
请作参考：

Answer 4

(1). ∵ d(√x)=dx/(2√x)；
∴∫[(1/√x)cos(√x)]dx=2∫cos(√x)d(√x)=2sin(√x)+C;
(2). ∵被积函数f(x)=x³/√(1+x²)是奇函数，其在对称区间上的积分=0；
∴∫<-1，1>[x³/√(1+x²)]dx=0

追问

请问第一题凑微分不是应该凑1/√x的导数吗？不是应该是ln√x吗？

追答

2d(√x)=2d[x^(1/2)]=2[(1/2)x^(-1/2)]dx=(1/√x)dx;
d[ln√x)=[d(√x)]/√x=(dx/2√x)/√x=dx/(2x)≠(1/√x)dx;