Question

求证:根号下(a+b)(c+d)≥根号下ac+根号下bd

a,b,c,d∈｛x/x＞0，x∈R｝

Answer 1

∵a,b,c,d＞0
∴要证√(a+b)(c+d)≥√ac＋√bd
即证(a+b)(c+d)≥ac＋bd＋2√abcd
ac+ad+bc+bd≥ac＋bd＋2√abcd
ad+bc≥2√abcd ……（*）
∵ad＋bc≥2√ad·√bc＝2√abcd
∴（*）恒成立
∴√(a+b)(c+d)≥√ac＋√bd

Answer 2

(a+b)(c+d)-(根号下ac+根号下bd)^2
=ac+bd+ad+bc-ac-bd-2倍根号下acbd
=ad+bc-2倍根号下acbd
设ad=x,bc=y
x+y-2倍根号下xy
=(根号下x+根号下y)^2≥0
所以 根号下(a+b)(c+d)≥根号下ac+根号下bd

Answer 3

柯西不等式~

Answer 4

太复杂了