Question

设函数f(x)=lim (1+x)/(1+x^2n) [n→∞] 讨论f(x)的间断点。

在线等，有点急，谢谢O(∩_∩)O~！

Answer 1

解：∵f(x)=lim(n->∞)[(1+x)/(1+x^2n)]

∴当│x│<1时，f(x)=1+x

当│x│=1时，f(x)=(1+x)/2

当│x│>1时，f(x)=0

∴函数f(x)有可能是间断点的点只能是点x=±1

∵lim(x->-1+)f(x)=lim(x->-1+)(1+x)=0

lim(x->-1-)f(x)=0

f(-1)=(1+(-1))/2=0

∴lim(x->-1+)f(x)=lim(x->-1-)f(x)=f(0)

∴x=-1是连续点

∵lim(x->1+)f(x)=0

lim(x->1-)f(x)=lim(x->1-)(1+x)=2

f(1)=(1+1)/2=1

∴lim(x->1+)f(x)≠lim(x->1-)f(x)

∴根据间断点分类定义知，x=1是函数f(x)的第一类间断点

故函数f(x)只有一个第一类间断点x=1

定义

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

解：∵f(x)=lim(n->∞)[(1+x)/(1+x^2n)]
∴当│x│<1时，f(x)=1+x
当│x│=1时，f(x)=(1+x)/2
当│x│>1时，f(x)=0
∴函数f(x)有可能是间断点的点只能是点x=±1
∵lim(x->-1+)f(x)=lim(x->-1+)(1+x)=0
lim(x->-1-)f(x)=0
f(-1)=(1+(-1))/2=0
∴lim(x->-1+)f(x)=lim(x->-1-)f(x)=f(0)
∴x=-1是连续点
∵lim(x->1+)f(x)=0
lim(x->1-)f(x)=lim(x->1-)(1+x)=2
f(1)=(1+1)/2=1
∴lim(x->1+)f(x)≠lim(x->1-)f(x)
∴根据间断点分类定义知，x=1是函数f(x)的第一类间断点
故函数f(x)只有一个第一类间断点x=1。

Answer 3

f(x)=lim (1+x)/(1+x^2n)
当X=0 时 f(x)=1
当X=1时 f(x)=1
当X=-1时 f(x)=0
当X不为上述值时， f(x)=lim(1+x)/(1+x^2n)=0
总上所述
f(x)= 0 （x≠0∪x≠1）
=1 （x=0或x=1）

因此 间断点为： X=0 和 X=1

Answer 4

满意答案里答得太好了。我正好也在思考这道题。解的好。万分感谢。情不自禁评价了。嘻嘻