Question

如图，点O在角APB的平分线上，圆o与PA相切于点c. (1)求证：直线PB与圆O相切；

Answer 1

（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
∴x2+（2x）2=62，
解得x= 655．
则EC=2x= 1255．

Answer 2

第（1）的证明方法：因为PF是角APB的角平分线，所以PF是角APB的对称轴。又PF是⊙O的对称轴。因此，PF是整个图形的对称轴，即整个图形是轴对称图形。根据轴对称的性质，PD=PC，再进一步证明三角形POD与三角形PCO全等，从而OD⊥PB。∴直线PB与⊙O相切

Answer 3

过O作OD垂直于PB，则∠OPB=90°
在⊿OPA与⊿OPB中
∠OAP=∠OBP
∠APO=∠BPO【O在∠APB的角平分线上】
PO=PO
⊿OPA≌⊿OPB
OA=OB,B在圆周上且∠OPB=90°
直线PB与圆O相切

Answer 4

过O作OD垂直于PB，则∠OPB=90°
在⊿OPA与⊿OPB中
∠OAP=∠OBP
∠APO=∠BPO【O在∠APB的角平分线上】
PO=PO
⊿OPA≌⊿OPB
OA=OB,B在圆周上且∠OPB=90°
直线PB与圆O相切

Answer 5

过O作OD垂直于PB，则∠OPB=90°
在⊿OPA与⊿OPB中
∠OAP=∠OBP
∠APO=∠BPO【O在∠APB的角平分线上】
PO=PO
⊿OPA≌⊿OPB
OA=OB,B在圆周上且∠OPB=90°
直线PB与圆O相切