Question

设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且对于任意的x,y∈(0,+∞)，有f（xy）=f（x）+f(y)，当x＞1时，f（x）＞0

Answer 1

（1）令y=1，有f（x）=f（x）+f（1），所以f（1）=0
（2）因为f（1）=0，所以f（x×1/x）=f（x）+f（1/x）=0，即f（1/x）=-f（x）设x1，x2∈（0， +∞），且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（1/x1）=f（x2/x1） 由于x2/x1＞1，所以f（x2/x1）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增
（3）因为f（2）=1，所以f（8）=f（2×2×2）=3f（2）=3。 f（x）-f（x-2）=f（x/（x-2）），要使 f（x）-f（x-2）≥3，只需使f（x/（x-2））≥f（8），由于f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以只需使x/（x-2）≥8，解得2＜x≤16/7，所以x的取值范围为（2，16/7）