Question

已知函数f(x)=2a*4^x-2^x-1

若此函数有零点求a的取值范围
我用几何画板得出a的范围是a>0，怎么求？

Answer 1

令2^x=t ,t＞0
令f(x)=0,则
2at^2-t-1=0
①当a=0时，-t-1=0，t=-1
因为t＞0，所以a≠0
当a≠0时
因为t＞0，所以方程至少有一个实根
②当2a＞0，即a＞0时
方程必有一正根一负根，此时符合题意
③当2a＜0，即a＜0时
由画图可知，此时方程无正根
所以a＜0时不成立
综上所述
a＞0
希望能帮到你

Answer 2

有零点说明f(x)=0有解
首先a=0时，f(x)=-2^x-1=-（2^x+1）
2^x+1恒大于0，所以-（2^x+1）恒小于0，无零点，所以a≠0
即2a(2^x)²-2^x-1=0
令t=2^x ，则t恒＞0
2at²-t-1=0
有零点则△大于等于0
△=1-4×2a×（-1）≥0
a≥-1/8
综上：a∈[-1/8,0）∪（0，+∞）

Answer 3

t=2^x>0
2a.4^x-2^x-1=2at^2-2t-1=2a(t-1/2a)^2-1/2a-1=0
a不等于0
4+8a>=0,a>=-1/2
a<0,f(0)=2a-2>0
a>0,1/4a-1>=0 ==>a=<1/4
a=0，f(x)<-1

a<a=<1/4