Question

已知函数f(x)=（1-x）/ax+lnx

已知函数f(x)=（1-x）/ax+lnx

(1)若函数f(x)在{1，正无穷）上时增函数，求正实数a的取值范围

（2）若a=1,k属于R且k小于1/e，设F（x）=f(x)+(k-1)lnx，求函数F(x)在{1/e,e}上的最大值和最小值、

Answer 1

函数f(x)在〔1,+∞)上可导且为增函数，
故f’(x)=-1/ax^2+1/x
=(ax-1)/ax^2>0.
又x.>=1,
∴(ax-1)/a>0，
即x－1/a>0在〔1,+∞)上恒成立，而x－1/a是增函数。
故x－1/a>=( x－1/a)min=1-1/a>0,
得1/a<1,又a>0,
a的取值范围(1, +∞)。

Answer 2

函数f(x)在〔1,+∞)上可导且为增函数，
故f’(x)=-1/ax^2+1/x =(ax-1)/ax^2
令f’(x)>0 x>1/a 1/a<=Xmin=1 得到a>=1

2、a=1时f(x)=(1-x)/x+lnx
F(x)=(1-x)/x+klnx
F'(x)=(kx-1)/x^2 令F'(x)=0 得到X=1/k 所以当x>e时 F(X)单调递增，1/e<x<e时 F(x)单调递减 0<x<1/e时单调递增 所以F(x)max=e-1-k F(x)min=1/e-1+k