Question

求解题目：已知g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数，且f(x)+g(X)是奇函数。若f(X)的最小值为1，求f(X)的解析式

Answer 1

已知g(x)=-x²-3,f(x)是二次函数，且f(x)+g(X)是奇函数。若f(X)的最小值为1，求f(X)的解析式
解：设f(x)=a(x-m)²+1，（a>0）
已知F(x)=f(x)+g(x)=a(x-m)²+1-x²-3=(a-1)x²-2amx+am²-2是奇函数，故有
F(-x)=(a-1)x²+2amx+am²-2=-F(x)=-[(a-1)x²-2amx+am²-2]=-(a-1)x²+2amx-am²+2
于是有a-1=-(a-1)，2a=2，得a=1；
am²-2=-am²+2，2am²=4，m²=2，得m=±√2.
故f(x)=(x±√2)²+1=x²±2(√2)x+3

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
f(x)+g(x)=(a-1)x^2+bx+c-3为奇函数，因此偶次项系数为0，即：
a-1=0, c-3=0
得a=1, c=3
故f(x)=x^2+bx+3=(x+b/2)^2+3-b^2/4
最小值为f(-b/2)=3-b^2/4=1, 解得b=±2√2
故f(x)=x^2±2√2x+3