Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立。

（1）求实数a的值。
（2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.

Answer 1

1)依题意，即对称轴为X=1
因此有：-a/2=1,
a=-2
2)f(x)=x^2-2x+b=(x-1)^2+b-1
令 x1>x2>=1, 则x1-x2>0, x1+x2>1+1=2
f(x1)-f(x2)=(x1-1)^2-(x2-1)^2=(x1-x2)(x1+x2-2)>0
即f(x1)>f(x2)
因此在此区间是单调增函数。