Question

求证:三条互不平行的直线L1:a1x+b1y+c1=0,直线L2:a2x+b2y+c2=0,只想爱你L3:a3x+b3y+c3=0共点的充要条件是

充要条件是矩阵a1 b1 c1(换行）a2 b2 c2 (换行）a3 b3 c3的值为零
求详解，谢谢

Answer 1

共点证明行列式为0：
考虑方程组
a1x+b1y+c1z=0
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
三线共点说明方程组有非0解（z=1)
所以系数行列式为0.
反过来
已知行列式det A为0
若假设三线不共点
那么方程组
a1x+b1y+c1=0
a2x+b2y+c2=0
a3x+b3y+c3=0
无解
也就是方程组
a1x+b1y+c1z=0
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
0x+ 0y+ 1z=1
无解
因为det A为0，故前三个方程至少有一个是另两个的线性组合（多余），不妨设第一个是多余的
那么方程组
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
0x+ 0y+ 1z=1
的系数行列式det A'必为0
但detA'=a2b3-a3b2不等于0（因为两条直线不平行）
矛盾
所以三线共点