Question

哥德巴赫猜想是什么

Answer 1

哥德巴赫猜想可表述为：a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。欧拉也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。把命题"任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。

由来

　　这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。
命题

　　1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想:　
　　(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。　
　　(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是所谓的哥德巴赫猜想。　
　　在信中他写道： “我的问题是这样的：
　　随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：
　　77=53+17+7；
　　再任取一个奇数，比如461：
　　461=449+7+5，
　　也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。
　　这样，我发现：任何大于9的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。”　
　　同年6月30日，欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。 同时欧拉在回信中又提出了此一猜想可以有另一个等价的版本：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。　
　　不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。　
　　但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。
进展

背景
　　哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。　直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。从20世纪20年代起，外国和中国的一些数学家先后证明了"9+9""2十3""1+5""1+4"等命题。
　　1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比5大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。 这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。
“a + b”问题的推进
　　关于偶数可表示为 a个质数的乘积 与b个质数的乘积之和(简称“a + b”问题)进展如下:
　　1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。
　　1922年，英国的哈代和李特尔伍德猜测出“1+1”的数量。
　　1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
　　1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
　　1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
　　1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
　　1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
　　1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。
　　1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
　　1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
　　1960年，中国的王元求解出“1+1”的上界限数量(中国"数学学报"登载)。
　　1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。
　　1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。
　　1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
　　相关知识
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　　设r(N)为“偶数表为两个质数之和的表示个数”。哈代的公式为：r(N)≈2∏{(p-1)/(p-2)}∏{1-1/{(p-1)^2}{N/[Ln(N)]^2}。现已知：2∏{1-1/{(p-1)^2}}≥1.32..,∏{(p-1)/p-2)}≥1，N/[Ln(N)]^2=(0.25)[(√N)/Ln(√N)]^2。由(√N)/Ln(√N)表示数的平方根数内的素数个数,可知：数大于第2个素数的平方数时，N/[Ln(N)]^2大于1。可用N/[Ln(N)]^2=e^(10^m)/(10^(2m))=10^{[(10^m)/Ln10]-2m}≈10^(0.434*10^m-2m)计算解。例如：2.7^10/10^2≈10^(4.3-2),2.7^100/10^4≈10^(43-6),2.718^1000/10^6≈1.7E+(434-6),
　　2.718^(10^4)/10^8≈3.1E+(4342-8),2.71828^(10^5)/10^10≈2.6E+(43429-10),..。
　　王元的公式(1960年<数学学报>)：r(N)≤8∏{(p-1)/(p-2)}∏{1-1/{(p-1)^2}{N/[Ln(N)]^2}。
　　陈景润的公式(<王元论哥德巴赫猜想>第168页)。r(N)≤7.8∏{(p-1)/p-2)}∏{1-1/{(p-1)^2}}{N/[Ln(N)]^2}。
　　陈景润证明“1+2”的公式：0.67∏{(p-1)/(p-2)}∏{1-1/{(p-1)^2}{N/[Ln(N)]^2}。见“哥德巴赫到陈景润”第471页。

Answer 2

Answer 3

(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。　 　
　(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是所谓的哥德巴赫猜想。　
不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。
事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。
若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。　 　　
但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。
因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。
现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

Answer 4

哥德巴赫猜想可表述为：a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。欧拉也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。把命题"任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。