Question

已知函数f(x)=x[1/（2^x+b）+1/a]（a、b∈R）,定义域为{x|x≠0},且f(2)=5/3

有两个高一数学问题需要麻烦大家，谢谢各位了！
第一个：已知函数f(x)=x[1/（2^x-1）+1/2]（a、b∈R）,定义域为{x|x≠0},且f(2)=5/3，（1）判断f（x）的奇偶性（2）证明对于定义域内的任意x的值，都有f（x）＞0
第二个：求函数f(x)=log2(4x)×log1/2x+8,x∈[1/4,8]的值域

题有点多，辛苦大家了，谢谢！

Answer 1

第一个：(1)函数f(x)=x[1/(2^x+b)+1/a]（a、b∈R）,定义域为{x|x≠0},且f(2)=5/3
定义域为x≠0，因函数在2^x+b=0处无定义，∴当x=0时，必有2^0+b=1+b=0 => b=-1
又f(2)=5/3=2[1/(2^2-1)+1/a]=2/3+2/a 解得 a=2
∴ 函数f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x/2*(2^x+1)/(2^x-1)
f(-x)=-x/2*[2^(-x)+1]/[2^(-x)-1]=-x/2*(1+2^x)/(1-2^x)=x/2*(2^x+1)/(2^x-1)=f(x)
∴f(x)为偶函数
(2) ∵f(x)=x/2*(2^x+1)/(2^x-1)
对于指数函数2^x，总有2^x+1>0
当x>0时，2^x>1，∴2^x-1>0，x/(2^x-1)>0，∴f(x)=x/2*(2^x+1)/(2^x-1)>0
当x<0时，0<2^x<1，∴2^x-1<0，x/(2^x-1)>0，∴f(x)=x/2*(2^x+1)/(2^x-1)>0
∴对于定义域内的任意x值，都有f(x)>0
第二个：对函数f(x)=log2(4x)×log1/2x+8
f(x)=log2(4x)×log1/2x+8
=[log2(4)+log2(x)]*[log2(1/x)]+8
=[2+log2(x)]*[-log2(x)]+8
=-[log2(x)]²-2log2(x)+8
设t=log2(x)，则f(x)=g(t)=-t²-2t+8=-(t+1)²+9≤9，∴函数最大值为9
∵x∈[1/4,8]，∴t=log2(x)∈[-2,3]
区间中点为(-2+3)/2=1/2>-1，在对称轴右边，∴最小值为g(3)=-4²+9=-7
∴函数f(x)的值域为[-7,9]

希望对你有帮助

Answer 2

例题 已知函数y= 10x-110x+1．
（1）写出函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试证明函数在定义域内是增函数．

解：（1）∵10x+1＞0恒成立
∴函数的定义域R
（2）∵f（-x）= 10-x-110-x+1= 1-10x1+10x=-f（x）
∴f（x）是奇函数
（3）设任意两个变量x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）= 10x1-110x1+1- 10x2-110x2+1= 2(10x1-10x2)(10x1+1)•(10x2+1)＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在定义域内是增函数．
2不会