Question

函数证明题

已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1），y=f2(x)=8/x,f(x)=f1(x)+f2(x)
证明：当a>3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解

要详细过程，谢谢！

Answer 1

1、f1(x)=ax^2，把（1，1）代入得a=1，所以f1(x)=x^2，f2(x)=k/x，与y=x联立得交点为

(根号k，根号k)或(-根号k，-根号k) 因为两个交点间距离为8，所以用两点间的距离公式得：根号下8k=8，所以8k=64，所以k=8 所以f2(x)=8/x， f(x)=x^2+ 8/x，

2、因为f(x)=f(a) 所以x^2+ 8/x=a^2+ 8/a，移项得(x^2-a^2)+(8/x-8/a)=0，(x+a)(x-a)+(8a-8x)/(ax)=0

提公因式得(x-a)(x+a-8/ax)=0，得x-a=0或x+a-8/ax=0，x+a-8/ax=0化为ax^2+a^2x-8=0，因为a>3

所以它的判别式=a^4+32a>0，所以x+a-8/ax=0有两个不相等的实数根，又因为x-a=0可得根x=a

所以关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解