Question

求极限 lim

求极限
1.lim y→2 (y-2)^3/(y^4-16)
2.lim x→3 [ (x^2+5x+6)/(x^2-x-12)]^1/4
3.lim x→0 [√(x+4) -2]/x
4.lim x→0 x/[(√(x+2) -√2]
[详细过程]

Answer 1

(1)当y→2时，分式为0/0型，用洛必达法则对上下分别求导：原式=lim y→2 3(y-2)^2/4y^3=0
(2)请确定题目是否错误，当x→3时根号内的式子为负数，无法开根号。
若x→-3，原式=lim x→-3 [(x+2)(x+3)/(x-4)(x+3)]^1/4
=lim x→-3[(x+2)/(x-4)]^1/4
=(1/7)^1/4
(3)分子有理化，原式=lim x→0 [(x+4) -4]/x([√(x+4) +2]
=lim x→0 1/[√(x+4) +2]
=1/4
(4)分母有理化，原式=lim x→0 x[(√(x+2) +√2]/x
=lim x→0 (√(x+2) +√2]
=2√2

Answer 2

1. 分母分解因式
lim y→2 (y-2)^3/(y^4-16)=lim y→2 (y-2)^3/[(y-2)(y+2)(y^2+4)]
=lim y→2 (y-2)^2/[(y+2)(y^2+4)]=0/32=0

2. 因为lim x→3 [ x^2-x-12)/(x^2+5x+6)]^1/4=0
且 [ x^2-x-12)/(x^2+5x+6)]^1/4在3附近不为零, 由无穷小量与无穷大量的关系知
lim x→3 [ (x^2+5x+6)/(x^2-x-12)]^1/4=无穷.

3.分子有理化
lim x→0 [√(x+4) -2]/x =lim x→0 x/[x [√(x+4) +2]]
=lim x→0 1/ [√(x+4) +2]=1/4.

4.分母有理化
lim x→0 x/[(√(x+2) -√2]
=lim x→0 x[(√(x+2) +√2]/x
=lim x→0 [(√(x+2) +√2]=2√2.