Question

问一道高中数学题.急！急！急！需要详细过程！

已知命题p:方程ax^2+ax-2=0在-1到1上只有一个解;命题q:存在实数x使不等式x^2+2ax+2a<=0成立.若p^q为真命题,求a的取值范围

Answer 1

要使 命题p或q是假命题
则命题p和q都是假命题
命题p: 方程a^2x^2+ax-2=0在-1到1上有解
解有：a^2x^2+ax-2=0
（ax+2）(ax-1)=0
解得：x=-2/a 或 x=1/a
要满足在-1到1上有解则有要满足-2/a和1/a至少有一个值在-1到1之间
则有：解：①-1<=-2/a<=1 ,② -1<=1/a<=1（注：a为分母，所以不能为0）
① 解得：当a>0时，a>=2
当a <0时，a<=-2
② 解得：当a>0时，a>=1
当a <0时，a<=-1
综上所述：a的范围是（-∞，-1】∪【1,+ ∞）
即在上述范围内命题p是真命题，
反之，要满足题意使之为假命题，a的取值范围为1<a<1
命题q：只有一个实数x满足不等式x^2+2ax+2a<=0
解有：x^2+2ax+2a<=0
x^2+2ax+a^2-a^2+2a<=0
(x+a) ^2-(a^2-2a+1)+1<=0
(x+a) ^2<=(a-1) ^2-1
因为任何数的平方一定大于等于0，所以(x+a) ^2一定是大于等于0的
要使其x的值只有一个，则有(x+a) ^2=0满足题意，
可知：当(a-1) ^2-1=0时，命题q为真命题，解得：a=0或a=2
即，要使命题q为假命题，a满足不为0和2，
综合可得：1<a<1且a≠0
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回答者： 幻紫枫舞 | 二级

Answer 2

要使 命题p或q是假命题
则命题p和q都是假命题
命题p: 方程a^2x^2+ax-2=0在-1到1上有解
解有：a^2x^2+ax-2=0
（ax+2）(ax-1)=0
解得：x=-2/a 或 x=1/a
要满足在-1到1上有解则有要满足-2/a和1/a至少有一个值在-1到1之间
则有：解：①-1<=-2/a<=1 ,② -1<=1/a<=1（注：a为分母，所以不能为0）
① 解得：当a>0时，a>=2
当a <0时，a<=-2
② 解得：当a>0时，a>=1
当a <0时，a<=-1
综上所述：a的范围是（-∞，-1】∪【1,+ ∞）
即在上述范围内命题p是真命题，
反之，要满足题意使之为假命题，a的取值范围为1<a<1
命题q：只有一个实数x满足不等式x^2+2ax+2a<=0
解有：x^2+2ax+2a<=0
x^2+2ax+a^2-a^2+2a<=0
(x+a) ^2-(a^2-2a+1)+1<=0
(x+a) ^2<=(a-1) ^2-1
因为任何数的平方一定大于等于0，所以(x+a) ^2一定是大于等于0的
要使其x的值只有一个，则有(x+a) ^2=0满足题意，
可知：当(a-1) ^2-1=0时，命题q为真命题，解得：a=0或a=2
即，要使命题q为假命题，a满足不为0和2，
综合可得：1<a<1且a≠0