Question

已知函数f(x)=a^x+a^-x (a>0且a≠1)

已知函数f(x)=a^x+a^-x (a>0且a≠1)
(1)证明函数f(x)关于y轴对称
(2)判断f(x)在(0,+正无穷)的单调性并证明
(3)当x属于[1,2]时函数最大值为5/2，求此时a的值
(4)当x属于[-2,-1]时函数最大值为5/2，求此时a的值

Answer 1

1)f(-x)=a^(-x)+a^x=f(x), 因此为偶函数，关于Y轴对称
2)x>0,
若a>1, 令t=a^x>1
若a<1,t=a^(-x)>1,
两种情况都有：f(x)=t+1/t， 而f(t)=t+1/t 在t>1时单调增
因此f(x) 在x>0时也单调增
3) f(t)=t+1/t只有最小值f(1)=2,
因此最大值在区间端点取得。
t+1/t=5/2--> t=2 or 1/2
a^1=2 or a^1=1/2,得a=2 or 1/2
a=2 , f(1)=5/2, f(2)=a^2+1/a^2>5/2, 不符
a=1/2, f(1)=5/2, f(2)=a^2+1/a^2<5/2， 符合
因此此时a=1/2
4)a^(-1)=2 or a^(-2)=1/2, a=1/2, or a=1/4
a=1/2, f(-1)=5/2, f(-2)>5/2，不符
a=1/4, f(-1)=5/2, f(-2)<5/2, 符合
因此此时a=1/4

Answer 2

1、利用f(-X)=f(x)，得出f(x)为偶函数，所以关于y轴对称