Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．

（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
注意：不能用中位线或之后的知识

Answer 1

解：（1）四边形ACEF是平行四边形；
证明：∵DE垂直平分BC，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；
证明：要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，
∵CE= 12AB，
∴AC= 12AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴当∠B=30°时，AB=2AC，
故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；

（3）四边形ACEF不可能是正方形，
因为由已知，∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形．

Answer 2

解：（1）四边形ACEF是平行四边形；
证明：∵DE垂直平分BC，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；
证明：要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，
∵CE= 12AB，
∴AC= 12AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴当∠B=30°时，AB=2AC，
故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；

（3）四边形ACEF不可能是正方形，
因为由已知，∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，an=0&si=1&pt=360se%5Fik#
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形． http://zhidao.baidu.com/question/335803268.html?

Answer 3

解：（1）四边形ACEF是平行四边形；
证明：∵DE垂直平分BC，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；
证明：要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，
∵CE= 12AB，
∴AC= 12AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴当∠B=30°时，AB=2AC，
故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；

（3）四边形ACEF不可能是正方形，
因为由已知，∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形．

Answer 4

(1)四边形ACEF是平行四边形！AF=CE,<AEF=<BED,DE垂直BC,三角形BED=三角形EDC,所以，<AEF=<EAC,所以，EF//AC,即，四边形ACEF是平行四边形！
（2）<B满足时30°时，四边形ACEF为菱形！
（3）不可能！因为，EC不能垂直AC !

追问

……（1）看不懂，好像“三角形BED=三角形EDC,所以，<AEF=<EAC”有点问题

Answer 5

解：（1）∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∴DF∥AC，
又∵EF=AC，
∴四边形EFAC是平行四边形，
∴AF=CE；

（2）当∠B=30° 时四边形EFAC是菱形，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC=12BC，BE=EC，
∴∠B=∠ECD=30°，
∵DF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴BE/BA=BD/BC=1/2，即BE=1/2AB，
∴AE=CE
又∵∠ECA=90°-30°=60°，
∴△AEC是等边三角形
∴CE=AC，
∴四边形EFAC是菱形；

（3）不可能．
若四边形EFAC是正方形，则E与D重合，A与C重合，不可能有∠B=30°