Question

已知函数f(x)=|x|(x-a),a为实数

（1）讨论f(x)在R上的单调性
（2）当a≤0时，求f(x)的单调区间
（3）在（2）的条件下，求函数f(x)在[-1,0.5]上的最大值

Answer 1

1), x>=0, f(x)=x(x-a)=(x-a/2)^2-a^2/4
x<0, f(x)=-x(x-a)=-(x-a/2)^2+a^2/4
当a>=0, 单调增区间为：x>=a/2 or x<=0
单调减区间为：0=<x<=a/2
当a<=0 单调增区间为：x>=0 or x<=a/2
单调减区间为： a/2=<x<=0
2)当a<=0 单调增区间为：x>=0 or x<=a/2
单调减区间为： a/2=<x<=0
3）a<=0, f(-1)=-1-a, f(0.5)=0.5(0.5-a)=1/4-a/2
极大值点为：f(a/2)=a^2/4,
若极大值点在区间上，即-2=<a<=0, f(-1)<f(a/2),
f(0.5)=1/4-a/2>=a^2/4---> a^2+2a-1<=0--> -1-√2=<a<=-1+√2
因此 当-2=<a<=0, 最大值为a^2/4
若极大值点不在区间，a<-2, 则比较端点的大小：
-1-a<=1/4-a/2---> -5/2<=a
因此当-5/2=<a<2, 最大值为f(0.5)=1/4-a/2
当a<-5/2, 最大值为f(-1)=-1-a