Question

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知AA1=2,AB=根号2,BC=1,∠BCC1=60°

1 求证，C1B⊥平面 ABC
2 试在棱CC1不包含端点 上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1
3 在2的条件下，求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值

Answer 1

证明：（1）因为AB⊥侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，
在△BC1C中， BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=π3由余弦定理有：
BC1=BC2+CC12-2•BC•CC1•cos∠BCC1= 1+4-2×2×cosπ3=3，
故有BC2+BC12=CC12∴C1B⊥BC，
而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC，
∴C1B⊥平面ABC；

（2）EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，
从而B1E⊥平面ABE，且BE⊂平面ABE，故BE⊥B1E，
不妨设CE=x，则C1E=2-x，则BE2=1+x2-x，
又∵ ∠B1C1C=23π则B1E2=1+x2+x，
在Rt△BEB1中有x2+x+1+x2-x+1=4，从而x=±1（舍负），
故E为CC1的中点时，EA⊥EB1，

（3）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M
连DF则DF∥A1B1，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A1B1，
连MF则MF∥BE，且MNDF，MD∥AE
又∵A1B1⊥EB1，BE⊥EB1故∠MDF为所求二面角的平面角，
在Rt△DFM DF=12A1B1=22(∵△BCE为正三角形）
MF=12BE=12CE=12∴tan∠MDF= 1222=22．

Answer 2

如图所示，点击放大即可，不懂再问！