Question

初中数学解答已知：点0到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC。若点O在边BC上，求证AB=AC;

已知：点0到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC。若点O在边BC上，求证AB=AC;

Answer 1

如图：

已知OE垂直AB、OF垂直BC，OE=OF。且OB=OC

直角三角形OCE与OBF中，OE=OF、OC=OB，所以两直角三角形为相似三角形、角OCE=角OBF

即三角形ABC为等腰三角形，AB=AC

Answer 2

（1）若点O在边BC上，求证：AB=AC；
设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F
那么，OE=OF
又已知，OB=0C
那么，Rt△OBE≌△OCF
所以，∠B=∠C
所以，AB=AC

（2）若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F
那么，OE=OF
已知，OB=0C
那么，Rt△OBE≌△OCF
所以，∠OBE=∠OCF
而，由OB=OC得到：∠OBC=∠OCB
所以：∠OBE+∠OBC=∠OCF+∠OCB
即：∠ABC=∠ACB
所以，AC=AB

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC
设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F （没图）
那么，OE=OF
已知，OB=0C
那么，Rt△OBE≌△OCF
所以，∠OBE=∠OCF
所以，180°-∠OBE=180°-∠OCF
即，∠OBA=∠OCA
而，由OB=OC得到：∠OBC=∠OCB
所以：∠OBA-∠OBC=∠OCA-∠OCB
即：∠ABC=∠ACB
所以，AC=AB

Answer 3

若点O在边BC上，过点O向AB、AC做垂线段，垂足分别为D、E，根据HL定理证明直角三角形OBD和直角三角形OCE全等，则有角B和角C对应相等，再根据等边对等角得AB=AC;

Answer 4

做OE⊥AB,OF⊥AC,
△EBO≌△FCO(HL)
则∠B=∠C
∵OB=OC
∴AB=AC

Answer 5

做OE⊥AB,OF⊥AC,
△EBO≌△FCO(HL)
则∠B=∠C
∵OB=OC
∴AB=AC

Answer 6

三线合一，角平分线和中垂线，所以是等腰三角形，AB=AC