Question

一阶线性非齐次微分方程怎么看出来的？

这道题的微分方程是怎么得出来的？增量和无穷小要怎么看？

Answer 1

解:∵Δy=y(x+Δx)-y(x)，y'=lim(Δx－0) Δy/Δx=lim(Δx－0) [y(x+Δx)-y(x)]/(x+Δx-x)，

又∵Δy(1+Δy)=yΔx/(1+x)+α ∴两边同时除以Δx，有Δy/Δx×(1+Δy)=y/(1+x)+α/Δx

∴lim(Δx－0)[Δy/Δx×(1+Δy)]=lim(Δx－0)

[y/(1+x)]+lim(Δx－0) (α/Δx)

∵y(x)在任意点有导数 ∴有lim(Δx－0) (Δy/Δx)=y' ，lim(Δx－0) Δy=0 ∵当Δx－0时，α与Δx为等价无穷小量 ∴lim(Δx－0) (α/Δx)=1 ∴有y'×1=y/(1+x)+1，化为

y'/(1+x)-y/(1+x)²=1/(1+x)，[y/(1+x)]'=

1/(1+x)，y/(1+x)=ln|1+x|+c(c为任意常数)，方程的通解为y=(1+x)ln|1+x|+c(1+x)

∵y(0)=1 ∴有c=1，y(x)=(1+x)ln|1+x|+

1+x

Answer 2

下图给出了详细过程，展开到了比Δx更高阶，再略去高阶小量，如有疑问欢迎追问，望采纳

Answer 3

其实正确的方法就在你贴的图片里的红字部分，用到的就是导数的定义
我假定后面那个微分方程你会解，如果不会的话用常数变易法