Question

E,F分别是正方形ABCD的边BC，DC上的点，且∠EAF＝45°，试说明EF＝BE＋DF

Answer 1

延长EB到G，使BG=DF，连接AG
∵ABCD是正方形
∴AB=AD ∠BAD=∠ABE=∠D=90°
∴ ∠ABG=∠D=90°
∴△ABG ≌△ADF
∴AG=AF ∠BAG=∠DAF
∵∠EAF＝45°
∴ ∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF＝45°
∴ ∠BAE+∠BAG＝45°
∴ ∠EAG=∠EAF
∵AE=AE AG=AF
∴△AEG ≌△AEF
∴EG=EF
∵EG=BE+BG=BE+DF
∴EF＝BE＋DF

Answer 2

延长EB到G，使BG=DF，连接AG
∵ABCD是正方形
∴AB=AD ∠BAD=∠ABE=∠D=90°
∴ ∠ABG=∠D=90°
∴△ABG ≌△ADF
∴AG=AF ∠BAG=∠DAF
∵∠EAF＝45°
∴ ∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF＝45°
∴ ∠BAE+∠BAG＝45°
∴ ∠EAG=∠EAF
∵AE=AE AG=AF
∴△AEG ≌△AEF
∴EG=EF
∵EG=BE+BG=BE+DF
∴EF＝BE＋DF

延长CB至G，使BG＝DF。
∵ABCD是正方形，∴∠ABG＝∠ADF＝90°，AB＝AD，结合作出的BG＝DF，
得：△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF。
∵ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BAG＋∠EAF＋∠DAF＝90°，而∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠BAE＝45°。而∠BAG＝∠DAF，∴∠BAG＋∠BAE＝45°，∴∠EAG＝45°。
由∠EAF＝45°，∠EAG＝45°，得：∠EAG＝∠EAF。
由AG＝AF，AE＝AE，∠EAG＝∠EAF，得：△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，
而EG＝BE＋BG＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF。

Answer 3

延长CB至G，使BG＝DF。
∵ABCD是正方形，∴∠ABG＝∠ADF＝90°，AB＝AD，结合作出的BG＝DF，
得：△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF。
∵ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BAG＋∠EAF＋∠DAF＝90°，而∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠BAE＝45°。而∠BAG＝∠DAF，∴∠BAG＋∠BAE＝45°，∴∠EAG＝45°。
由∠EAF＝45°，∠EAG＝45°，得：∠EAG＝∠EAF。
由AG＝AF，AE＝AE，∠EAG＝∠EAF，得：△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，
而EG＝BE＋BG＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF。