Question

25、在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，点P是对角线AC上的一动点（点P与点A、C不重合）.

25、在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，点P是对角线AC上的一动点（点P与点A、C不重合）.
（1）如图1，如果AP=3，求∠PBC的正切值；
（2）如图2，过点P做PQ⊥PB，PQ分别交射线BC和射线DC于点E、Q.
 设PB=x，PQ=y，求y关于x的函数关系式并写出函数的定义域；
 如果CQ=1，写出AP的长.（不必写出解题过程）
步骤要详细点

Answer 1

1.过P作PE⊥BC交BC于E，
由AB=3，BC=4，∴AC=5.
由AP=3，∴CP=5-3=2.设BE=x，CE=4-x，
（4-x）/2=x/3，∴x=12/5.
设PE=y，y/3=2/5，∴y=6/5，
tan∠PBC=y/x=1/2.
2.①过P作MN‖BC，M交于AB，N交于CD，
由∠BPQ=90°，∴∠Q=∠BPM。
△BPM∽△PQN，
∵BM=CN，CN：PN=3t：4t，
∴BM：CN=3t：4t=PB：PQ，
∴x/y=3/4,得y=3x/4.
②当CQ=1时，设CN=3t，PN=4t，PC=5t，
PQ=1+3t，（1+3t）/4t=4/3，
∴t=3/7.
AP=5-5t=20/7.

Answer 2

解：（1）过P作MN⊥BC交BC、AD于N、M，则
MN∥CD．∴ APAC=AMAD=PMCD，
∴ PM=55x， AM=255x，
∴ PN=4-55x， DM=8-255x．（2分）
∵∠MPD+∠MDP=∠MPD+∠NPE=90°，
∴∠MDP=∠NPE．
又∵∠DMP=∠PNE=90°，
∴△DMP∽△PNE．（3分）
∴ DMPN=PDPE=PMNE=8-255x4-155x=2（∴ NE=510x）．（4分）

（2）∵CN= DM=8-255x， NE=510x，∴ CE=8-52x．（6分）
∵DE2=CD2+CE2，∴ y=54x2-85x+80．（8分）
当DP⊥AC时y有最小值，可求AP= 1655，即当x= 1655时，y有最小值．（9分）

（3）当PD=PC时，则AP= 25；（10分）
当CP=CD时，则AP= 45-4；（11分）
当DP=DC时，则AP= 1255．（12分）