Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于两点A、B,问是否存在实数a,使得A、B两点关于直线y=3x对称

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2)
因为A、B关于y=3x对称，则y=3x为线段AB的垂直平分线
则A、B所在直线也就是y=ax+1与y=3x垂直，所以a=-1/3
且线段AB中点在y=3x上，即3(x1+x2)=(y1+y2)，
因为(y1+y2)=ax1+ax2+2=-1/3(x1+x2)+2，所以3(x1+x2)=-1/3(x1+x2)+2
所以 x1+x2=3/5
联立直线与双曲线方程得(3－a^2)x^2－2ax－2＝0
得x1+x2=2a/(3-a^2)=-3/13
与上面所得x1+x2的值矛盾
因此不存在这样的a使命题成立。

Answer 2

将直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1联立，消去y，得到关于x的一元二次方程
﹙3－a²﹚x²－2ax－2＝0,∴x1＋x2＝(2a)／(3－a²),__________________①
设AB中点为C（x0,y0），则x0＝(x1＋x2)／2,______________________②
y0＝(y1＋y2)／2＝(ax1＋1＋ax2＋1)／2＝a(x1＋x2)/2＋1,___________③
将①代入②③中，可以得到a的值。_______________________④
我没有检验。a＝[－3±√(33)]／2.
然后，你再求一下直线AB的斜率，令它等于-1/3，____________⑤
如果④⑤求出的a的值相同，就是答案；如果不同，实数a 就不存在。

Answer 3

如果存在这样的实数a使得A、B关于L: y=3x对称，那么AB的连线必然与l垂直；而A、B是L1：y = ax + 1上的两点，所以要符合条件，就必须使L1垂直于L。

L1是经过定点的，所以符合这样的条件的L1只有一个，可能符合题意的a值只有 -1/3一个。

然后再验证下这个a的情况下，A、B是否关于L对称就知道了。