正弦定理和余弦定理的证明
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正弦定理
证明
步骤1 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。
余弦定理
平面几何证法
在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac
证明
步骤1 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。
余弦定理
平面几何证法
在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac
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系科仪器
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