Question

若关于x的不等式4^x-2^x+1-a≥0

若关于x的不等式4^x-2^x+1-a≥0在[1,2]上恒成立，则a的取值范围是

Answer 1

解：设2^x=t 则不等式为 t^2-t+1-a≥0， 在2≤t≤4 上恒成立
对称轴 t=1/2 △=1-4(1-a)=4a-3
1‘△≤0 即a≤3/4时，恒成立
2’△>0 即a>3/4时，函数图像与t轴有两个交点，而对称轴t=1/2在[2,4]的左侧
要使t^2-t+1-a≥0， 在2≤t≤4 上恒成立 就要使t=2时，函数≥0
即4-2+1-a≥0 得 a≤3
综上：a≤3时，不等式4^x-2^x+1-a≥0在[1,2]上恒成立

追问

4^x-2^（x+1）-a≥0 x+1是整体

追答

早点打清楚啊~
同理 原不等式可转化为 4^(x+1)×1/4-2^（x+1）-a≥0 4≤t≤8
设2^(x+1)=t ，则不等式为 1/4t^2-t-a≥0
对称轴 t=2 △=1+a
1‘△≤0 即a≤-1时，恒成立
2’△>0 即a>-1时，函数图像与t轴有两个交点，而对称轴t=2在[4,8]的左侧 函数开口向上
要使1/4t^2-t-a≥0， 在4≤t≤8 上恒成立 就要使t=4时，函数≥0
即4-4-a≥0 得 a≤0
综上：a≤0时，不等式4^x-2^（x+1）-a≥0在[1,2]上恒成立

Answer 2

令t=2^x
则y=4^x-2^x+1-a=t²-t+1-a=(t-1/2)²+3/4-a
当x在[1,2]上时，t在[2,4]区间
(t-1/2)²的值在[9/4,49/4]区间，切递增
所以，要原不等式恒成立，则须：
9/4+3/4-a≥0
a≤3

Answer 3

设y＝4^x-2^x+1＝(2^x－1/2)²＋3/4
∵x∈[1,2] ∴2^∈[2,4] ∴y≥4²－2²＋1＝13
∵4^x-2^x+1-a≥0 ∴4^x-2^x+1≥a
∵关于x的不等式4^x-2^x+1-a≥0在[1,2]上恒成立
∴a≤13

Answer 4

0-5