Question

如图(1),在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q.

（2）当点P在AB上运动到什么位置时，三角形ADQ的面积是正方形ABCD面积的六分之一；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，三角形ADQ恰为等腰三角形.

Answer 1

证明：
（2）解法一：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的 16时，
过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，
12AD×QE= 16S正方形ABCD= 16×16= 83，
∴QE= 43，
由△DEQ∽△DAP得 QEAP=DEDA，即 43AP= 4-434，
解得AP=2，
∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 16；
解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．
12AD×QE= 16S正方形ABCD= 16×16= 83，
∴QE= 43，
∵点Q在正方形对角线AC上，
∴Q点的坐标为（ 43， 43），
∴过点D（0，4），Q（ 43， 43）两点的函数关系式为：y=-2x+4，
当y=0时，x=2，
∴P点的坐标为（2，0），
∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 16；

（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°，P为C点，
②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，P为B，
③AD=AQ（P在BC上），
∴CQ=AC-AQ=√2BC-BC=（ 2-1）BC
∵AD∥BC
∴ CPCQ= AQAD=1，
∴CP=CQ=（ 2-1）BC=4（ 2-1）
综上，P在B点，C点，或在CP=4（ 2-1）处，△ADQ是等腰三角形．

Answer 2

(2)当AP为8/3时，为正方形的1/6.

(3)利用正方形的性质，可知：
当P移到B点时为等腰直角三角形