Question

已知f(x)=a×2^x+a-2/2^x+1(x∈R),且f(x)满足f(-x)=-f(x)。（1）求实数a的值（2）判断函数的单调性。

3.解不等式f(x)>2^x-1 这题怎么写啊。

Answer 1

（1） 首先由f(-x)=-f(x)得到：
(a•2^(-x)+a-2)/(2^(-x)+1)= - (a•2^x+a-2)/(2^x+1);
由于2^(-x)=1/2^x, 所以：
[a+(a-2)•2^x]/（2^x+1）=- (a•2^x+a-2)/(2^x+1);
即：
a+(a-2)•2^x =- (a•2^x+a-2)；
上式对任意x∈R都成立，故有：
a-2=-a, 所以a=1；
（2） 所以f(x)=(2^x-1)/ (2^x+1);由于对x∈R，2^x>0,
对于y>0，f(y)=(y-1)/(y+1)= (y+1-2)/(y+1)=1-2/(y+1);
f(y)在y>0时递增,所以，而2x为x的递增函数，所以f(x)为递增函数；
（3） f(x)>2^x-1;即：
(2^x-1)/ (2^x+1)> 2^x-1,
当2^x-1>0时，等价于：2^x+1<1; 即：1<2^x<0,显然为空；
当2^x-1<0时，等价于：2^x+1>1; 即：0<2^x<1, x<0;

Answer 2

(1)f(x)是奇函数，f(0)=0,得到a=1/2
(2)f(x)=1/2*2^x-2/(2^x)+3/2 可知道2^x是增函数，-2/2^x是增函数，故f(x)是增函数。
（3）f(x)>2^x-1即1/2*2^x-2/(2^x)+3/2>2^x-1
(2^x)^2-5(2^x)+4<0
1<2^x<4
2^0<2^x<2^2
0<x<2