Question

已知f(x)=2^x,设f(x)的反函数为f-1(x),若关于x的方程f-1(x) 乘 f-1(ax^2)=f-1(16)的解都在区间（0，1）

已知f(x)=2^x,设f(x)的反函数为f-1(x),若关于x的方程f-1(x) ・ f-1(ax^2)=f-1(16)的解都在区间（0，1）内，求a的取值范围

Answer 1

∵y＝2^x ∴x＝㏒2 y ∴f-1(x)＝㏒2 x
∵f-1(x) 乘 f-1(ax^2)=f-1(16) ∴㏒2 x ×㏒2 (ax^2)＝㏒2 16
∴㏒2 x ×(㏒2 a＋2㏒2 x)＝4 ∴2㏒2²x＋㏒2 a㏒2 x －4＝0
∵f-1(ax^2)=f-1(16)的解都在区间（0，1） ∴㏒2 x＜0
令t＝㏒2 x，则2t²＋㏒2 a t＋4＝0 的2根t1＜0 t2＜0
∴t1＋t2＝﹣(1/2)㏒2 a＜0 t1 × t2 ＝2＞0
∴㏒2 a＞0
∴a＞1

Answer 2

转化为一元二次方程，换元，求实根分布1b2一4ac大于0，2对轴3特值4开口