Question

1.已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x/3-2^x.

1.已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x/3-2^x.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若对任意t∈R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

1)当x<0时，-x>0，f(-x)= (-x)/3 - 2^(-x)
所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x)/3 - 2^(-x)] = x/3 + 2^(-x)
又 f(0)=0
x/3-2^x， x＞0
所以，f(x)的解析式为 f(x)= 0 ， x=0
x/3+2^(-x)， x≤0

2）不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0恒成立，
即 f(t^2-2t) ＜ -f(2t^2-k)
即 f(t^2-2t) ＜ f(-2t^2+k)
又因为f(x)为R的单调递减函数，所以有t^2-2t > k-2t^2
即 3t^2-2t-k>0 恒成立，
所以△<0，解得 k< -1/3