Question

已知x>0,y≥0,且x+2y=1/2,求s=log1/2(8xy+4y^2+1)的最小值。

Answer 1

记f（x，y）=8xy+4y^2+1

由x+2y=1/2得2x=1-4y
且由x>=0有y<=1/4

得g(y)=f（(1-4y)/2，y）=4(1-4y)y+4y^2+1=-12y^2+4y+1

令g'(y)=-24y+4=0可得y=1/6

由于g(y)是开口向下的抛物线，可知y=1/6时函数g(y)取得最大值4/3
此时p=log1/2(底)[8xy+4y^2+1]有最小值p=log1/2(底)[4/3]

由于0<=y<=1/4且g(y)在[0,1/6]上单增 有g(0)=1
g(y)在[1/6,1/4]上单增 有g(1/4)=1.25
可知y=0时g(y)取得最小值1
此时p=log1/2(底)[8xy+4y^2+1]有最大值p=0

Answer 2

111

Answer 3

记f（x，y）=8xy+4y^2+1
由x+2y=1/2得2x=1-4y
且由x>=0有y<=1/4
得g(y)=f（(1-4y)/2，y）=4(1-4y)y+4y^2+1=-12y^2+4y+1
令g'(y)=-24y+4=0可得y=1/6
由于g(y)是开口向下的抛物线，可知y=1/6时函数g(y)取得最大值4/3
此时p=log1/2(底)[8xy+4y^2+1]有最小值p=log1/2(底)[4/3]
由于0<=y<=1/4且g(y)在[0,1/6]上单增
有g(0)=1
g(y)在[1/6,1/4]上单增
有g(1/4)=1.25
可知y=0时g(y)取得最小值1
此时p=log1/2(底)[8xy+4y^2+1]有最大值p=0