Question

已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),且对于任意x1,x2∈D

已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,∞),且对于任意x₁,x₂∈D，均有f(x₁×x₂)=f(x₁)+f(x₂)，且当x＞1时，f(x)＞0. 已知函数为偶函数，求证f(x)在﹙0，+∞﹚上是增函数

Answer 1

证明：因为f(x₁×x₂)=f(x₁)+f(x₂)，令x₁=x₂=1，则代入方程得f(1)=2f(1)，所以f(1)=0；
再令x₂=1/x₁，则代入方程得f(1)=f(x₁)+f(1/x₁)，所以f(x₁)=-f(1/x₁)。
设x₂>x₁>0，f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(1/x₁)=f(x₂/x₁)，
又因为x₂/x₁>1，所以f(x₂/x₁)>0，即f(x₂)-f(x₁)>0。
则f(x)在﹙0，+∞﹚上是增函数。

Answer 2

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