Question

已知P是圆O外一点 PB与圆O相交与点A、B PD与圆O相交与点C、D,AB=CD 求证 1 PO平分角BPD 2 PA=PC

Answer 1

（1）
证明：
作OE⊥AB，OF⊥CD
∵AB=CD
∴OE=OF【在同圆内，弦相等，弦心距相等】
又∵PO=PO
∴Rt⊿PEO≌Rt⊿PFO(HL)
∴∠EPO =∠FPO
即PO平分∠BPD
（2）
证明：
继（1）
∵Rt⊿PEO≌Rt⊿PFO
∴PE=PF
∵垂直于弦的直径平分弦
∴AE=BE，CF=DF
∵AB=CD
∴AE=AF
∵PA=PE-AE，PC=PF-CF
∴PA=PC【等量代换】

Answer 2

过O做OE垂直于AB，OF垂直于CD
因为AB=CD,AO=BO=CO=DO
所以三角形AOB全等于三角形COD
所以OE=OF
由角的平分性质，PO平分角APC
所以角APO=角CPO
又因为OE=OF，OP为公共边，角OEP=角OFP=90度
三角形OEP全等于三角形OFP
所以EP=FP
又因为E,F分别为AB,CD的中点且AB=CD
所以AE=CF
所以AP=PC