Question

设a,b,c是三角形的三边长,求证:a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)≥3

Answer 1

令x=b+c-a ,y=c+a-b, z=a+b-c
则a=(y+z)/2 ,b=(x+z)/2, c=(x+y)/2
则原不等式等价于：(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z≥6
左=(y/x +x/y) +(y/z +z/y) +(z/x +x/z)≥2+2+2=6
证毕

Answer 2

证：首先c(a-b)^2+b(a-c)^2+a(b-c)^2≥0
c(a^2+b^2-2ab)+b(a^2+c^2-2ac)+a(c^2+b^2-2bc)≥0
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+ba^2+bc^2-6abc≥0
bbc+cbc-abc+cac+aac-abc+aab+bab-abc≥3abc
两边同时除以abc
∴(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3

追问

你没发现你的结论很有问题么？！

追答

三角形的三边则a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0,
由均值不等式
(c+a-b)/(b+c-a)+(b+c-a)/(c+a-b)>=2根号[(c+a-b)/(b+c-a)*(b+c-a)/(c+a-b)2]
同理(a+b-c)/(c+a-b)+(c+a-b)/(a+b-c)>=2
(a+b-c)/(b+c-a)+(b+c-a)/(a+b-c)>=2
相加
2a/(b+c-a)+2b/(c+a-b)+2c/(a+b-c)>=6,
所以a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)>=3