Question

已知A,B矩阵,满足AP=B的可逆矩阵P可以用初等列变换求吗?

Answer 1

不一定可以。

首先如果A不可逆，B也不可逆，初等行变换后得到的矩阵也不可逆。

如果A不可逆，B可逆，不可逆矩阵乘一个矩阵不可能得到一个可逆阵。

如果A可逆，B不可逆，求得的P也不是可逆阵。

如果A、B都可逆，求得的P才是所要求的P。

设A是m×n矩阵，X是n×s矩阵，AX=B是矩阵方程。

总结如下：

①易证秩(A, B)=秩(A)是方程有解的充要条件。设Ax=0的基础解系为x1, x2,... xq，X₀是AX=B的一个特解，则方程的解为X₀+｛由x1,..., xq各自位于第一到n列而其余列为0的矩阵共n×q个矩阵组成的线性组合｝。

②若AX=B存在可逆的矩阵解（假设n=s），则必须要有A与B的列向量组等价，即BY=A也要有解。仅有秩(A)=秩(B)是不够的。

③若有A与B的列向量组等价，对A, E作相同的列变换得到A的列最简矩阵Ar；对B, E作相同的列变换得到B的列最简矩阵Br，此时Ar与Br的（0,..., 0, 1, 0,..., 0）行必定相同（因为等价），对Ar再作简单的列变换即可得到Br。