Question

如何直接用聚点原理来证明完备公理？

Answer 1

xy.聚点原理应该就是Bolzano-Weierstrass定理吧．证明Cauchy收敛原理的过程是这样的：

证明每个Cauchy列都是有界数列，根据Cauchy列的定义：＿_____，不妨取ε＝1，记M=max{|a1|,...,|aN|,|aN+1|}+1，则＿____，从而由B-W定理，必有收敛子列，证明这个子列的极限就是原数列的极限。

任意ε＞0，由收敛的定义，存在N1，使得＿____.再由Cauchy列的定义，存在N2，使得＿____。

取N=N1+N2，则n>N时，＿____证毕。

两个集合X和Y.X中任意元素小于Y中任意元素，则存在c使任意xy有y≥c≥x。

说白了就是要证明确界存在定理，那二分法就可以了。比如证明上确界，先选定一个区间，使得左端点是集合里面的数，右端点是一个上界。

每一步选中点，如果中点是一个上界，那么选左边的区间，否则的话选右边。这样能够保证每一步取到的区间里面既有上界，又有原来集合里面的点。当然最后一步是用闭区间套还是用列紧写取决于自己的爱好。