Question

大学线性代数题~

设向量组α1,α2,…,αr线性相关,而其中任意r-1个向量都线性无关,证明:要使k1α1+k2α2+…+krαr=0成立，k1,k2,k3...kr必全不为零或全为零。

求证法。。以及如果全为0那原向量组向量组α1,α2,…,αr不就线性无关了么？

Answer 1

在线性无关和线指弯春仔性相关的定义中说的是一组不全为零的系数，所以你最后的问题说明你没有理解定义。
至于题目的证法很简单：
首先，若k1,k2,k3...kr全为零，则k1α1+k2α2+…+krαr=0显然成立。
其次，根据条件向量组α1,α2,…,αr线性相关知道，一定存在一组不全为零的系数k1,k2,k3...kr使得：k1α1+k2α2+…+krαr=0成立。
假设k1,k2,k3...kr中有一个等于零，不妨就设kr=0，那么k1α1+k2α2+…+k(r-1)α(r-1)=0
其中系数组k1,k2,k3...k(r-1)不全为零，这样向量组α1,α2,…,α(r-1)线性相关。
这就与向量唯森闷组α1,α2,…,αr中任意r-1个向量都线性无关相矛盾！
所以k1,k2,k3...kr必全不为零。
命题得证。

Answer 2

证明 设k1α1+k2α2+…+krαr=0，我们证颂燃明只要有某一个ki为零，则必有k1=k2=...=kr=0.
不妨设k1=0,则有k2α2+…+krαr=0,由于α1,α2,…,αr中任意r-1个向量都线性无关,所以必有
k2=k3=...=kr=0. 于是k1,k2,..,kr只要有一个为零，则全为0.
下面证明只要有一个不为0，则全不为零。还是不妨设k1不为0，于是
α1=-(k2/k1)α2-…-(kr/k1)αr
我们可以判定k2,k3,...,kr全不为0，若有某一个ki=0,不妨枝唯设k2=0,则有
α1+(k3/k1)α3+…+(kr/k1)αr=0 这说明这r-1个向量α1，α3，…，αr线性相关，与条件矛盾。
所以，只有一个ki不为零，则k1,k2,...,kr全不为0.
如果全为0那原向量组向量组α1,α2,…,αr就线性无关，这种说法显然是不正确的，因为对于任意r个向量，当k1=k2=...=kn＝0时，k1α1+k2α2+…+krαr=0都成立，但这并不能说这r个向量线性无关。因为线性无关的定义不是这样的. 再好好理解一下线性无关的定义，这是线性代野搭虚数中相当重要一个概念.

Answer 3

用反证法
证明: 假设结论不对,则k1,k2,...,kr中有升雹0也有非零数
不妨设拆判 k1=0, k2≠0
则 由 k1α1+k2α2+…+krαr=0
得 k2α2+…+krαr=0
因为k2≠0,所以 α2,…,αr线性相关
这与已知任意r-1个向量都线性无关矛盾.
命题得证.

注: 如果全为0并不能说明什么吵御帆问题