Question

大学线性代数题~

设向量组α1,α2,…,αr线性相关,而其中任意r-1个向量都线性无关,证明:要使k1α1+k2α2+…+krαr=0成立，k1,k2,k3...kr必全不为零或全为零。

求证法。。以及如果全为0那原向量组向量组α1,α2,…,αr不就线性无关了么？

Answer 1

在线性无关和线性相关的定义中说的是一组不全为零的系数，所以你最后的问题说明你没有理解定义。
至于题目的证法很简单：
首先，若k1,k2,k3...kr全为零，则k1α1+k2α2+…+krαr=0显然成立。
其次，根据条件向量组α1,α2,…,αr线性相关知道，一定存在一组不全为零的系数k1,k2,k3...kr使得：k1α1+k2α2+…+krαr=0成立。
假设k1,k2,k3...kr中有一个等于零，不妨就设kr=0，那么k1α1+k2α2+…+k(r-1)α(r-1)=0
其中系数组k1,k2,k3...k(r-1)不全为零，这样向量组α1,α2,…,α(r-1)线性相关。
这就与向量组α1,α2,…,αr中任意r-1个向量都线性无关相矛盾！
所以k1,k2,k3...kr必全不为零。
命题得证。

Answer 2

证明 设k1α1+k2α2+…+krαr=0，我们证明只要有某一个ki为零，则必有k1=k2=...=kr=0.
不妨设k1=0,则有k2α2+…+krαr=0,由于α1,α2,…,αr中任意r-1个向量都线性无关,所以必有
k2=k3=...=kr=0. 于是k1,k2,..,kr只要有一个为零，则全为0.
下面证明只要有一个不为0，则全不为零。还是不妨设k1不为0，于是
α1=-(k2/k1)α2-…-(kr/k1)αr
我们可以判定k2,k3,...,kr全不为0，若有某一个ki=0,不妨设k2=0,则有
α1+(k3/k1)α3+…+(kr/k1)αr=0 这说明这r-1个向量α1，α3，…，αr线性相关，与条件矛盾。
所以，只有一个ki不为零，则k1,k2,...,kr全不为0.
如果全为0那原向量组向量组α1,α2,…,αr就线性无关，这种说法显然是不正确的，因为对于任意r个向量，当k1=k2=...=kn＝0时，k1α1+k2α2+…+krαr=0都成立，但这并不能说这r个向量线性无关。因为线性无关的定义不是这样的. 再好好理解一下线性无关的定义，这是线性代数中相当重要一个概念.

Answer 3

用反证法
证明: 假设结论不对,则k1,k2,...,kr中有0也有非零数
不妨设 k1=0, k2≠0
则 由 k1α1+k2α2+…+krαr=0
得 k2α2+…+krαr=0
因为k2≠0,所以 α2,…,αr线性相关
这与已知任意r-1个向量都线性无关矛盾.
命题得证.

注: 如果全为0并不能说明什么问题