Question

如图所示是圆O的部分图形,OA.OB是圆O的两条互相垂直的半径，点M是弦AB的中点，过点M做MC//OA,交弧AB

如图所示是圆O的部分图形,OA.OB是圆O的两条互相垂直的半径，点M是弦AB的中点，过点M做MC//OA,交弧AB于点C。求证：弧AC=1/3弧AB

Answer 1

延长CM，交OB于点D。
因为，DM∥OA，AM = BM ，
所以，∠AOC = ∠OCD ，OD = BD = ½OB = ½OC ，
可得：∠AOC = ∠OCD = 30° = (1/3)∠AOB ，
所以，弧AC = (1/3)弧AB 。

Answer 2

过M、C作ME⊥AO于E，CF⊥AO于F，连OC
∵M为AB的中点，∴ME=1/2 OB,易证MEFC为矩形
∴CF= 1/2 OB= 1/2 OC，∠COF=30°，
∴弧AC=1/3弧AB

Answer 3

延长CM，交OB于点D。
因为，DM∥OA，AM = BM ，
所以，∠AOC = ∠OCD ，OD = BD = ½OB = ½OC ，
可得：∠AOC = ∠OCD = 30° = (1/3)∠AOB ，
所以，弧AC = (1/3)弧AB