Question

已知双曲线X²/6-y²/3=1的焦点为F1,F2，点M在双曲线上，且MF1垂直x轴，则F1到直线F2M的距离为？

求具体过程，谢谢！

Answer 1

双曲线 x²/6-y²/3=1 中，a²=6 b²=3 所以，c²=a²+b²=6+3=9
的两个焦点坐标是 F1(-3,0) F2(3,0)
点M在双曲线上，且MF1垂直于X轴
那么， MF1的方程是 x=-3
于是，M点的横坐标是-3，则 9/6-y²/3=1
y²=3/2
点M的纵坐标是 y1=-√6/2 或 y2=√6/2
所以，点M有二个，它们关于X轴对称，而F1，F2在X轴上，那么直线MF2也关于X轴对称，因此，要求F1到MF2的距离，只要对其中的一条直线作讨论就可以了，因此取M（-3，√6/2）
则 直线 MF2的方程是 （y-0)/(√6/2-0)=(x-3)(-3-3)
2y/√6=(x-3)/(-6)
x+2√6y-3=0
因此，点F1到直线MF2的距离 d=|-3-3|/√(1+24)=6/5

追问

则 直线 MF2的方程是 （y-0)/(√6/2-0)=(x-3)(-3-3)
这个怎么算的。

追答

这是直线方程中的“二点式”。是已知二点的直线方程形式，其标准式是
已知二点坐标是(x1,y1)和（x2,y2)，则过这已知二点的直线方程是
（y-y1)/（y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)

追问

点F1到直线MF2的距离 d=|-3-3|/√(1+24)=6/5
这个呢？

追答

这是点到直线的距离公式
点A（a,b)到直线　Ａx+By+C=0 的距离、
d=|Aa+Bb+C|/√(A²+B²)