Question

已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,F(x)=f(x)+g(x)，且F（x）在（0，+∞）上是减函数。

已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,F(x)=f(x)+g(x)，且F（x）在（0，+∞）上是减函数。
（1）判断并证明F（x）在（-∞，0）上的单调性
（2）若x≥0时，F（x）=-x（x+1），求函数F（x）的解析式

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Answer 1

(1)由凯颤纳题意：F(-x)=f(-x)+g(-x)
=-f(x)-g(x)
=-[f(x)+g(x)]
所以F(x)也是奇函数，盯没所以图像关于原点对称
即可知F(x)在（-∞，0）上为增函数
(2)由F(x)是奇函数可知当x<=0时，
F(x)=x(x+1)
所洞圆以：F(x)=-x(x+1) (x>0)
=0 (x=0)
=x(x+1) (x<0)

Answer 2

(1)F(-x)=f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
F（x）在R上奇函数拆侍
设x1>x2>0,则-x1<-x2<0
F（x）在（0，+∞）上是减函数,F(x1)<F(x2)
即-F(-x1)<-F(-x2),F(-x1)>F(-x2)
F（x）在（-∞，0）上是单调递减函旅塌吵数
（2）设x<0,则-x>0
f(-x)=-(-x)(-x+1)=x(1-x)
f(x)=-f(-x)=x(x-1)
所以当x<衫拦0时f(x)=x(x-1)
当x>=0时f(x)=-x(x+1)

Answer 3

（1）证明：因为 f(x),g(x)都是定皮雀指义在R上的奇函数
所以 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-（f(x)+g(x)）=-F(x)
又因为F（x）在（0，+∞）上是减函数
所以 F（x）在（-∞，0）上是减函数
（2）解：当x<0时燃配 F(-x)=x(-x+1)
又F(-x)=-F(x)
所以-F(x)=x(-x+1) (x<0)
即岁辩 F(x)=-x(-x+1)(x<0)
所以函数F(x)=x（x+1）(x≥0)
=-x（-x+1）(x<0)

Answer 4

（1）F(-X)=f(-x)+g(-x),而f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),所以F(-X)=-(f(x)+g(x))=-F(X),所以F(X)也是奇函数，所以F(x)在（x<0)上单调递减
（2）空消亮F(x)是奇函数，x<=0,-x>=0,F(-x)=x(-x+1)，而F(-x)=-F(x),所以F(x)=-x(-x+1),即斗宽x<=0时桥简，F(x)=x(x-1)分段函数表示就行