Question

如图一，已知在梯形ABCD中,AB//CD,AB=30,CD=50

1)对角线AC与BD相交于点O,OE//CD交AD于点E,求OE长
2)如图2，若动点P由点A出发沿AB向点B以每分钟3个单位的速度移动，同时点Q由点D出发沿DC向点C以每分钟5个单位的速度移动，又AQ于DP交于N，CP与BQ交于点M,试问：对于动点P,Q在整个运动过程中的任意（不与A,B,C,D重合），始终与MN//AB吗？若有，请予与证明；若没有，请说明理由
3）设梯形ABCD的面积为S，在（2）中的运动过程中，四边形PNQM的面积是否发生变化？若发生变化，请证明；若不发生变化，请求出它的面积（用含S的代数式表示）

Answer 1

1、在梯形ABCD中,AB//CD,AB=30,CD=50，有三角形ABO相似于三角形OCD，有DC/AB＝DO/BO＝50/30=5/3，因OE//CD//AB，在三角形ABD中，OE/AB＝DO/（DO+BO）＝5/8，OE=5/8*30=18.75
2、设X为时间，在梯形ABCD中,AB//CD，三角形ANP相似于三角形PNQ，有DQ/AP=5X/（3X）=QN/NA。又因为AB=30,CD=50，三角形PBM相似于三角形QCM，所以有QC/PB＝（50-5*X）/（30-3*X）=QM/MB，
令QN/NA＝QM/MB，即有5X/（3X）=（50-5X）/（30-3X），化简得1=1，故假定成立。
即有在三角形ABQ中，QN/NA＝QM/MB，所以有MN//AB。
3、设梯形ABCD的高是H＝S/40，有：
四边形PNQM的面积＝（四边形ADPQ的面积-三角形ADQ的面积-三角形ANP的面积）+（四边形BCQP的面积-三角形BCQ的面积-三角形BMP的面积）=S-25H-5.625H＝0.234S=定值
所以四边形PNQM的面积不发生变化。