Question

设函数f(x)=sin(wx+φ)+cos(wx+φ)(w>0,|φ|<π/2)的最小正周期为π，且f(-x)=f(x)则

A f(x)在（0，π/2)单调递减。
B f(x)在（π/4, 3π/4)单调递减。
C f(x)在(0,π/2）单调递增。
D f(x)在（π/4,3π/4)单调递增
PS f(x)=sin(wx+φ)+cos(wx+φ)
=√2sin(wx+φ+π/4)
T=2π/w=π
w=2
f(x)=√2sin(2x+φ+π/4)
f(-x)=f(x),
所以 f(-π/8)=f(π/8)
sinφ=sin(π/2+φ)=cosφ
tanφ=1
|φ|<π/2
φ=π/4
f(x))=√2sin(2x+π/4+π/4)=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x
在这个解题过程中所以 f(-π/8)=f(π/8)
sinφ=sin(π/2+φ)=cosφ
tanφ=1
|φ|<π/2
φ=π/4
f(x))=√2sin(2x+π/4+π/4)=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x
这一部分如何理解
sinφ=sin(π/2+φ)=cosφ
这一步是否有误

Answer 1

f(-x)=f(x),所以f(-π/8)=f(π/8)，f(x)=√2sin(2x+φ+π/4)，
f(-π/8)=√2sin[（-π/8）*2+φ+π/4]=√2sin(-π/4+φ+π/4)=√2sinφ,
f(π/8)=√2sin[（π/8）*2+φ+π/4]=√2sin(π/4+φ+π/4)=√2sin(π/2+φ).
所以，f(-π/8)=√2sinφ=√2sin(π/2+φ)=f(π/8)，
所以，sinφ=sin(π/2+φ)
由诱导公式可得sin(π/2+φ)=cosφ
所以sinφ=cosφ
sinφ/cosφ=1
sinφ/cosφ=tanφ=1
这一步没有问题。

在这个解题过程中所以 f(-π/8)=f(π/8)
sinφ=sin(π/2+φ)=cosφ
tanφ=1
|φ|<π/2
φ=π/4
f(x)=√2sin(2x+π/4+π/4)=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x
这一部分如何理解
取f(-π/8)=f(π/8)是为了充分利用条件中的f(-x)=f(x），
为什么单取-π/8和π/8呢？是观察f(x)=√2sin(2x+φ+π/4)后得出的结果，是为了让关于φ的等式尽可能的简单以及便于利用诱导公式。取-π/4和π/4亦可，但运算不如取-π/8和π/8简便。
最终都是为了达到求出φ的目的，所以取其周期是不可以的，取其他值也行不通。

Answer 2

由于f(-x)=f(x),
不妨取x=π/8，将其带入，这样可以使得2x+π/4=π/2，以及x= -π/8时，2x+π/4=0
所以有 f(-π/8)=f(π/8)这一步进而带入得到sinφ=sin(π/2+φ)
由sin(π/2+φ)=cosφ，进而得到：
sinφ=cosφ，tanφ=1
|φ|<π/2，φ=π/4，解出f(x)

Answer 3

sinφ=sin(π/2+φ)=cosφ
这一步有误，应该sinφ=- sin(π/2+φ)

Answer 4

没错，根据奇变偶不变，符号看象限