Question

真空的静电场中,求均匀带电球面空间任意一点的电场强度

Answer 1

在真空中，静电场的电场强度可以根据电荷密度和空间位置来计算。假设有一个半径为 $R$、总电荷量为 $Q$ 的均匀带电球面，其电荷密度为 $\rho = Q/（4\pi R^2）$。现在我们要计算球面外的任意一点 $P$ 处的电场强度。

由于带电球面具有球对称性，因此可以通过高斯定理来计算电场强度。将 $P$ 点看作一个球心，构建一个以 $P$ 为球心、半径为 $r$ 的高斯球面，其中 $r$ 是 $P$ 点到球面中心的距离。由于电场是一个矢量场，因此我们需要计算在高斯球面上的电场矢量的垂直分量，即 $E_{\perp}$。

根据高斯定理，高斯球面内的电场通量等于球面内的电荷量除以真空介电常数 $\epsilon_0$，即：

$$\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}$$

由于高斯球面内没有电荷，所以 $Q_{\text{enc}}=0$，因此高斯球面内的电场通量为零。根据电场通量的定义，我们可以得到：

$$\Phi = \int_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = E_{\perp} \cdot 4\pi r^2$$

因此，$P$ 点处的电场强度 $E_{\perp}$ 可以表示为：

$$E_{\perp} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$$

其中 $r$ 是 $P$ 点到球面中心的距离。注意到在求解过程中，我们并没有用到球面的具体形状，因此上式对于任意形状的带电球面都是适用的。