Question

高等数学 微分法问题

一个铁球内半径为5cm,外半径为5.2cm的空心球，表面镀上一层0.005cm的金，已知铁金的密度分别为7.86g/cm^3与18.9g/cm^3.用微分法求这个球中含铁和金质量的近似值.

Answer 1

V(r) = (4/3) π r³, V '(r) = 4π r² ,
ΔV ≈ dV = V '(r) dr = V '(r) Δr
1. 球中含铁的体积 r = 5, Δr = 5.2 - 5 = 0.2
V铁 ≈ 4π r² Δr = 4 π 5² * 0.2 ≈ 62.832
m铁 ≈ 7.86 * 62.832 ≈ 493.86 (克)
2. 球中含金的体积 r = 5.2, Δr = 0.005
V金 ≈ 4π r² Δr = 4 π 5.2² * 0.005 ≈ 1.70
m金 ≈ 18.9 * 1.70 ≈ 32.13 (克)

Answer 2

v=4πr^3/3
Δv≈dv=4πr^2Δr
铁的体积近似值为4π25*0.2≈15.7
质量约为15.7*7.86≈123.402g
金的体积近似值为4π（5.2）^2*0.005≈1.698
质量约为1.698*18.9≈32.09g
π取3.14

Answer 3

凑微分要会各种被积函数跟原函数的转换公式，做到看到被积函数就能想到与之对应的原函数。
分部积分法要记住积分次序，如被积函数(x^2)(e^x)应该先积e^x等等，你可以买本李永乐的书看下，里面讲的比较清楚