Question

f(x)=ax^2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图像与直线y=x相切

(1）求f(x)的解析式(2)是否存在区间[m,n]（m<n）,使得f（x）在区间[m,n]上的值域恰好为[2m,2n]?若存在，请求出区间[m,n].

Answer 1

解：(1)令h（x）=f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a+b,又知h（x）为偶函数则有h（-x）=h（x）带入可得等式2a+b=0；由函数f(x)的图像与直线y=x相切联立方程得ax^2+(b-1)x=0解得x=0或x=1-b/a易知方程有且只有1解即x=1-b/a=0解得b=1，带入2a+b=0得a=-1/2.则函数解析式f（x）=-1/2x^2+x
(2)假设存在。由题意知只有直线y=2x与函数相交才能使得f（x）在区间[m,n]上的值域恰好为[2m,2n]联立方程）-1/2x^2+x=2x解得x=0或x=2两点坐标为（0,0);(-2,-4)即存在m，n区间为【-2,0】值域为【-4,0】

Answer 2

令g(x)=f(x+1)
=a(x+1)^2+b(x+1)
=ax^2+(2a+b)x+(a+b)
g(x)是偶函数，则有：
g(-x)=g(x)，
即：
ax^2-(2a+b)x+(a+b)=ax^2+(2a+b)x+(a+b)
化简得：
-(2a+b)=(2a+b)
2a+b=0
b=-2a
所以：
g(x)=ax^2-a
f(x)=ax^2-2ax
=ax(x-2)
那么当x=0或x=2时，f(x)=0。
若a>0，f(x)的图像开口向上，且穿过(0,0)和(2,0)，此函数必不会与y=x相切！
若a<0，f(x)的图像开口向下，穿过以上两点，可以与y=x相切。

f(x)的切线函数是：f'(x)=2ax-2a，既然与y=x相切，切点处斜率必为1。
所以 2ax-2a=1
2a(x-1)=1
x-1=1/(2a)
x=1/(2a) +1
在此点处，f(x)=x，（因为此点既是f(x)图像上的点，又是y=x图象上的点）
所以：a(1/(2a) +1)^2-2a(1/(2a) +1)=1/(2a) +1
解此方程，得：a=-1/2

所以 f(x)=-1/2*x^2+x

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第2题暂时没想好。